算法詳解之回溯法具體實現

2020-01-26 15:36:50

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供稿：網友

理論輔助：

回溯算法也叫試探法，它是一種系統地搜索問題的解的方法。回溯算法的基本思想是：從一條路往前走，能進則進，不能進則退回來，換一條路再試。用回溯算法解決問題的一般步驟為：

1、定義一個解空間，它包含問題的解。

2、利用適于搜索的方法組織解空間。

3、利用深度優先法搜索解空間。

4、利用限界函數避免移動到不可能產生解的子空間。

問題的解空間通常是在搜索問題的解的過程中動態產生的，這是回溯算法的一個重要特性。

還是那個基調，不喜歡純理論的東西，喜歡使用例子來講訴理論，在算法系列總結：動態規劃(解公司外包成本問題）的那一節里面我們舉得是經典的0-1背包問題，在回溯算法里面也有一些很經典的問題，當然，動態規劃的0-1背包問題其實也可以使用回溯算法來解。在諸如此類似的求最優解的問題中，大部分其實都可以用回溯法來解決，可以認為回溯算法一個”通用解題法“，這是由他試探性的行為決定的，就好比求一個最優解，我可能沒有很好的概念知道怎么做會更快的求出這個最優解，但是我可以嘗試所有的方法，先試探性的嘗試每一個組合，看看到底通不通，如果不通，則折回去，由最近的一個節點繼續向前嘗試其他的組合，如此反復。這樣所有解都出來了，在做一下比較，能求不出最優解嗎？

例子先行，現在我們來看看經典的N后問題

問題描述：在n*n格的棋盤上放置彼此不受攻擊的n個皇后。按照國際象棋的規矩，皇后可以攻擊與之處在同一行或同一列或同一斜線上的棋子。n后問題等價于在n*n格的棋盤上方置n個皇后，任何2個皇后不放在同一行或同一列或同一斜線上。我們需要求的是可放置的總數。

基本思路：用n元組x[1；n]表示n后問題的解。其中，x[i]表示皇后i放置在棋盤的第i行的第x[i]列。由于不容許將2個皇后放在同一列上，所以解向量中的x[i]互不相同。2個皇后不能放在同一斜線上是問題的隱約束。對于一般的n后問題，這一隱約束條件可以化成顯約束的形式。如果將n*n 格的棋盤看做二維方陣，其行號從上到下，列號從左到右依次編號為1,2，...n。從棋盤左上角到右下角的主對角線及其平行線（即斜率為-1的各斜線）上，2個下標值的差（行號-列號）值相等。同理，斜率為+1的每條斜線上，2個下標值的和（行號+列號）值相等。因此，若2個皇后放置的位置分別是（i,j）和（k,l）,且 i-j = k -l 或 i+j = k+l，則說明這2個皇后處于同一斜線上。以上2個方程分別等價于i-k = j-l 和 i-k =l-j。由此可知，只要|i-k|=|l-j|成立，就表明2個皇后位于同一條斜線上。

1、從空棋盤起，逐行放置棋子。
2、每在一個布局中放下一個棋子，即推演到一個新的布局。
3、如果當前行上沒有可合法放置棋子的位置，則回溯到上一行，重新布放上一行的棋子。
代碼：

復制代碼代碼如下:

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include<stdlib.h>
static int n,x[1000];
static    long sum;
int Place(int k)
{
for(int j=1;j <k; j++)
    if((abs(k-j) == abs(x[j]-x[k]))||(x[j]==x[k])) return 0;
     return 1;
}

void Backtrak(int t)
{
   if(t>n) sum++;
   else
       for(int i=1; i <= n; i++)
       {
            x[t] =i;
            if(Place(t))Backtrak(t+1);
       }
}

int main()
{
    int nn;
    while(scanf("%d",&nn)!=EOF)
    {
    n=nn;
    sum=0;
    for(int i=0;i<=n;i++)
    x[i]=0;
    Backtrak(1);
    printf("%d/n",sum);
}
}

這段代碼有必要解釋一下，Place（int）即嘗試看是否可以，如果不可以則回退到t+1層，再嘗試其他的組合。

這里也道出了回溯算法的核心思想：但當探索到某一步時，發現原先選擇并不優或達不到目標，就退回一步重新選擇

算法實踐：

問題描述：在一個n*n的網格里，每個網格可能為“墻壁”（用‘X'表示）和“街道”（用‘.'表示）。現在在街道放置碉堡，每個碉堡可以向上下左右四個方向開火，子彈射程無限遠。墻壁可以阻擋子彈。問最多能放置多少個碉堡，使它們彼此不會互相摧毀。

如下面四張圖，墻壁用黑正方形表示，街道用空白正方形表示，圓球就代表碉堡。1,2,3是正確的，4,5是錯誤的。以為4,5里面在某一行或者某一列有兩個碉堡，這樣他們就會互相攻擊了。意思明白了嗎？可能我的表達很不清晰，呵呵….

輸入輸出示例

Sample input:
――――――輸入的n值
.X..
....

XX..
....

XX
.X
.X.
X.X
.X.
....
....
....
....

Sample output:

初拿到這個問題，你會不會想到回溯算法呢？有人說遍歷墻的位置，然后再墻的上下左右四個格子放置碉堡會得到最優解，這個我沒有驗證過，細細的用筆畫了畫，好像是這么回事，但是很多時候要知道最優解用什么方法是很難發現的，利用通用解題方法回溯法，我們可以在一片茫然的時候開始我們的編程

首先我們來分析一下這個問題：使用回溯法，我們嘗試每一種可能放置的情況，然后進行判斷是否滿足要求，若不滿足，嘗試放到下一個單元格，如此反復，最終，我們將所有可能放置的情況全部遍歷出來了，連所有情況都出來了，難不成還找不到最優解嗎？哈哈。。說做就做…

復制代碼代碼如下:

#include <stdio.h>
     char map[4][4];
     int best,n;
     int canput(int row, int col)
     {
        int i;
        for (i = row - 1; i >= 0; i--) 
        {
          if (map[i][col] == 'o') return 0; 
          if (map[i][col] == 'x') break;
        }
        for (i = col - 1; i >= 0; i--)
        {
          if (map[row][i] == 'o') return 0; 
          if (map[row][i] == 'x') break;
        }
        return 1;
     }

     void solve(int k,int tot)
     {
        int x,y;
        if(k==n*n)
        {
          if(tot>best) 
          {
           best=tot;   return;
          }
        }
        else
        {
          x=k/n;
          y=k%n;
          if((map[x][y]=='.') && (canput(x,y) ) )
          {
            map[x][y]='o';
            solve(k+1,tot+1);
            map[x][y]='.';
          }
         solve(k+1,tot);
         }
      }

     int main()
     {
        int i,j;
        scanf("%d",&n);
        while(n>0)
        {
          for(i=0;i< n;i++)
             for(j=0;j< n;j++)
                 scanf("%1s",&map[i][j]); 
          best=0;
          solve(0,0);
          printf("%d/n",best);
          n=0;                             
          scanf("%d",&n);
        }
        return 0;
 }