基于John Carmark密碼詳解

2020-01-26 16:17:14

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供稿：網友

有人在Quake III的源代碼里面發現這么一段用來求平方根的代碼:

/*================SquareRootFloat================*/

float SquareRootFloat(float number) {
    long i;
    float x, y;
    const float f = 1.5F;
    x = number * 0.5F;
    y = number;
    i = * ( long * ) &y;
    i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); //注意這一行
    y = * ( float * ) &i;
    y = y * ( f - ( x * y * y ) );
    y = y * ( f - ( x * y * y ) );
    return number * y;
}

x5f3759df？這是個什么東西？學過數值分析就知道，算法里面求平方根一般采用
的是無限逼近的方法，比如牛頓迭代法，抱歉當年我數值分析學的太爛，也講不清楚
。簡單來說比如求5的平方根，選一個猜測值比如2，那么我們可以這么算

/2 = 2.5; 2.5+2/2 = 2.25; 5/2.25 = xxx; 2.25+xxx/2 = xxxx ...
這樣反復迭代下去，結果必定收斂于sqrt(5)，沒錯，一般的求平方根都是這么算的
。而卡馬克的不同之處在于，他選擇了一個神秘的猜測值0x5f3759df作為起始，使得
整個逼近過程收斂速度暴漲，對于Quake III所要求的精度10的負三次方，只需要一
次迭代就能夠得到結果。

好吧，如果這還不算牛b，接著看。

普渡大學的數學家Chris Lomont看了以后覺得有趣，決定要研究一下卡馬克弄出來的
這個猜測值有什么奧秘。Lomont也是個牛人，在精心研究之后從理論上也推導出一個
最佳猜測值，和卡馬克的數字非常接近, 0x5f37642f。卡馬克真牛，他是外星人嗎？

傳奇并沒有在這里結束。Lomont計算出結果以后非常滿意，于是拿自己計算出的起始
值和卡馬克的神秘數字做比賽，看看誰的數字能夠更快更精確的求得平方根。結果是
卡馬克贏了... 誰也不知道卡馬克是怎么找到這個數字的。

最后Lomont怒了，采用暴力方法一個數字一個數字試過來，終于找到一個比卡馬克數
字要好上那么一丁點的數字，雖然實際上這兩個數字所產生的結果非常近似，這個暴
力得出的數字是0x5f375a86。

Lomont為此寫下一篇論文，"Fast Inverse Square Root"。

我把這個函數用C#就行了一下改寫：

復制代碼代碼如下:

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Text;

namespace ConsoleApplication1
{
     class Program
     {
         static void Main(string[] args)
        {
            Console.WriteLine("Carmark's method:");
            Console.WriteLine(SquareRootFloat(3.0f).ToString());
            Console.WriteLine("Use Math.Sqrt() method:");
            Console.WriteLine(((float)Math.Sqrt(3.0)).ToString());
            Console.Read();
        }

private static float SquareRootFloat(float number)
{

            long i;
            float x, y;
            const float f = 1.5F;
            x = number * 0.5F;
            y = number;
            unsafe
            {
                i = * ( long * ) &y;
                i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); //注意這一行
                y = * ( float * ) &i;
            }
            y = y * ( f - ( x * y * y ) );
            y = y * ( f - ( x * y * y ) );
            return number * y;
        }
    }
}