程序員編程藝術(shù)第十一章：最長公共子序列(LCS)問題

0、前言

    程序員編程藝術(shù)系列重新開始創(chuàng)作了（前十章，請參考程序員編程藝術(shù)第一~十章集錦與總結(jié)）。回顧之前的前十章，有些代碼是值得商榷的，因當(dāng)時的代碼只顧闡述算法的原理或思想，所以，很多的與代碼規(guī)范相關(guān)的問題都未能做到完美。日后，會著力修繕之。

    搜遍網(wǎng)上，講解這個LCS問題的文章不計其數(shù)，但大多給讀者一種并不友好的感覺，稍感晦澀，且代碼也不夠清晰。本文力圖避免此些情況。力保通俗，闡述詳盡。同時，經(jīng)典算法研究系列的第三章（三、dynamic PRogramming）也論述了此LCS問題。有任何問題，歡迎不吝賜教。

第一節(jié)、問題描述

    什么是最長公共子序列呢?好比一個數(shù)列 S，如果分別是兩個或多個已知數(shù)列的子序列，且是所有符合此條件序列中最長的，則S 稱為已知序列的最長公共子序列。

    舉個例子，如：有兩條隨機序列，如 1 3 4 5 5 ，and 2 4 5 5 7 6，則它們的最長公共子序列便是：4 5 5。

    注意最長公共子串（Longest CommonSubstring）和最長公共子序列（LongestCommon Subsequence, LCS）的區(qū)別：子串（Substring）是串的一個連續(xù)的部分，子序列（Subsequence）則是從不改變序列的順序，而從序列中去掉任意的元素而獲得的新序列；更簡略地說，前者（子串）的字符的位置必須連續(xù)，后者（子序列LCS）則不必。比如字符串a(chǎn)cdfg同akdfc的最長公共子串為df，而他們的最長公共子序列是adf。LCS可以使用動態(tài)規(guī)劃法解決。下文具體描述。

第二節(jié)、LCS問題的解決思路

窮舉法   

    解最長公共子序列問題時最容易想到的算法是窮舉搜索法，即對X的每一個子序列，檢查它是否也是Y的子序列，從而確定它是否為X和Y的公共子序列，并且在檢查過程中選出最長的公共子序列。X和Y的所有子序列都檢查過后即可求出X和Y的最長公共子序列。X的一個子序列相應(yīng)于下標序列{1, 2, …, m}的一個子序列，因此，X共有2^m個不同子序列（Y亦如此，如為2^n），從而窮舉搜索法需要指數(shù)時間（2^m * 2^n）。

動態(tài)規(guī)劃算法

    事實上，最長公共子序列問題也有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。

記:

Xi=﹤x1，?，xi﹥即X序列的前i個字符 (1≤i≤m)（前綴）

Yj=﹤y1，?，yj﹥即Y序列的前j個字符 (1≤j≤n)（前綴）

假定Z=﹤z1，?，zk﹥∈LCS(X , Y)。

若xm=yn（最后一個字符相同），則不難用反證法證明：該字符必是X與Y的任一最長公共子序列Z（設(shè)長度為k）的最后一個字符，即有zk = xm = yn 且顯然有Zk-1∈LCS(Xm-1 , Yn-1)即Z的前綴Zk-1是Xm-1與Yn-1的最長公共子序列。此時，問題化歸成求Xm-1與Yn-1的LCS（LCS(X , Y)的長度等于LCS(Xm-1 , Yn-1)的長度加1）。

若xm≠yn，則亦不難用反證法證明：要么Z∈LCS(Xm-1, Y)，要么Z∈LCS(X , Yn-1)。由于zk≠xm與zk≠yn其中至少有一個必成立，若zk≠xm則有Z∈LCS(Xm-1 , Y)，類似的，若zk≠yn 則有Z∈LCS(X , Yn-1)。此時，問題化歸成求Xm-1與Y的LCS及X與Yn-1的LCS。LCS(X , Y)的長度為：max{LCS(Xm-1 , Y)的長度, LCS(X , Yn-1)的長度}。

    由于上述當(dāng)xm≠yn的情況中，求LCS(Xm-1 , Y)的長度與LCS(X , Yn-1)的長度，這兩個問題不是相互獨立的：兩者都需要求LCS(Xm-1，Yn-1)的長度。另外兩個序列的LCS中包含了兩個序列的前綴的LCS，故問題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)考慮用動態(tài)規(guī)劃法。

    也就是說，解決這個LCS問題，你要求三個方面的東西：1、LCS（Xm-1，Yn-1）+1；2、LCS（Xm-1，Y），LCS（X，Yn-1）；3、max{LCS（Xm-1，Y），LCS（X，Yn-1）}。

    行文至此，其實對這個LCS的動態(tài)規(guī)劃解法已敘述殆盡，不過，為了成書的某種必要性，下面，我試著再多加詳細闡述這個問題。

第三節(jié)、動態(tài)規(guī)劃算法解LCS問題

3.1、最長公共子序列的結(jié)構(gòu)

    最長公共子序列的結(jié)構(gòu)有如下表示：

    設(shè)序列X=<x₁, x₂, …, x_m>和Y=<y₁, y₂, …, y_n>的一個最長公共子序列Z=<z₁, z₂, …, z_k>，則：

若x_m=y_n，則z_k=x_m=y_n且Z_k-1是X_m-1和Y_n-1的最長公共子序列；若x_m≠y_n且z_k≠x_{m ，}則Z是X_m-1和Y的最長公共子序列；若x_m≠y_n且z_k≠y_n ，則Z是X和Y_n-1的最長公共子序列。

    其中X_m-1=<x₁, x₂, …, x_m-1>，Y_n-1=<y₁, y₂, …, y_n-1>，Z_k-1=<z₁, z₂, …, z_k-1>。

3、2.子問題的遞歸結(jié)構(gòu)

    由最長公共子序列問題的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)可知，要找出X=<x₁, x₂, …, x_m>和Y=<y₁, y₂, …, y_n>的最長公共子序列，可按以下方式遞歸地進行：當(dāng)x_m=y_n時，找出X_m-1和Y_n-1的最長公共子序列，然后在其尾部加上x_m(=y_n)即可得X和Y的一個最長公共子序列。當(dāng)x_m≠y_n時，必須解兩個子問題，即找出X_m-1和Y的一個最長公共子序列及X和Y_n-1的一個最長公共子序列。這兩個公共子序列中較長者即為X和Y的一個最長公共子序列。

    由此遞歸結(jié)構(gòu)容易看到最長公共子序列問題具有子問題重疊性質(zhì)。例如，在計算X和Y的最長公共子序列時，可能要計算出X和Y_n-1及X_m-1和Y的最長公共子序列。而這兩個子問題都包含一個公共子問題，即計算X_m-1和Y_n-1的最長公共子序列。

    與矩陣連乘積最優(yōu)計算次序問題類似，我們來建立子問題的最優(yōu)值的遞歸關(guān)系。用c[i,j]記錄序列X_i和Y_j的最長公共子序列的長度。其中X_i=<x₁, x₂, …, x_i>，Y_j=<y₁, y₂, …, y_j>。當(dāng)i=0或j=0時，空序列是X_i和Y_j的最長公共子序列，故c[i,j]=0。其他情況下，由定理可建立遞歸關(guān)系如下：

3、3.計算最優(yōu)值

    直接利用上節(jié)節(jié)末的遞歸式，我們將很容易就能寫出一個計算c[i,j]的遞歸算法，但其計算時間是隨輸入長度指數(shù)增長的。由于在所考慮的子問題空間中，總共只有θ(m*n)個不同的子問題，因此，用動態(tài)規(guī)劃算法自底向上地計算最優(yōu)值能提高算法的效率。

    計算最長公共子序列長度的動態(tài)規(guī)劃算法LCS_LENGTH(X,Y)以序列X=<x₁, x₂, …, x_m>和Y=<y₁, y₂, …, y_n>作為輸入。輸出兩個數(shù)組c[0..m ,0..n]和b[1..m ,1..n]。其中c[i,j]存儲X_i與Y_j的最長公共子序列的長度，b[i,j]記錄指示c[i,j]的值是由哪一個子問題的解達到的，這在構(gòu)造最長公共子序列時要用到。最后，X和Y的最長公共子序列的長度記錄于c[m,n]中。

[cpp] view plain copy print?Procedure LCS_LENGTH(X,Y);  begin    m:=length[X];    n:=length[Y];    for i:=1 to m do c[i,0]:=0;    for j:=1 to n do c[0,j]:=0;    for i:=1 to m do      for j:=1 to n do        if x[i]=y[j] then          begin            c[i,j]:=c[i-1,j-1]+1;            b[i,j]:="↖";          end        else if c[i-1,j]≥c[i,j-1] then          begin            c[i,j]:=c[i-1,j];            b[i,j]:="↑";          end        else          begin            c[i,j]:=c[i,j-1];            b[i,j]:="←"          end;    return(c,b);  end;   

    由算法LCS_LENGTH計算得到的數(shù)組b可用于快速構(gòu)造序列X=<x₁, x₂, …, x_m>和Y=<y₁, y₂, …, y_n>的最長公共子序列。首先從b[m,n]開始，沿著其中的箭頭所指的方向在數(shù)組b中搜索。

當(dāng)b[i,j]中遇到"↖"時（意味著xi=yi是LCS的一個元素），表示X_i與Y_j的最長公共子序列是由X_i-1與Y_j-1的最長公共子序列在尾部加上x_i得到的子序列；當(dāng)b[i,j]中遇到"↑"時，表示X_i與Y_j的最長公共子序列和X_i-1與Y_j的最長公共子序列相同；當(dāng)b[i,j]中遇到"←"時，表示X_i與Y_j的最長公共子序列和X_i與Y_j-1的最長公共子序列相同。

    這種方法是按照反序來找LCS的每一個元素的。由于每個數(shù)組單元的計算耗費Ο(1)時間，算法LCS_LENGTH耗時Ο(mn)。

3、4.構(gòu)造最長公共子序列

    下面的算法LCS(b,X,i,j)實現(xiàn)根據(jù)b的內(nèi)容打印出X_i與Y_j的最長公共子序列。通過算法的調(diào)用LCS(b,X,length[X],length[Y])，便可打印出序列X和Y的最長公共子序列。

[cpp] view plain copy print?Procedure LCS(b,X,i,j);  begin    if i=0 or j=0 then return;    if b[i,j]="↖" then      begin        LCS(b,X,i-1,j-1);        print(x[i]); {打印x[i]}      end    else if b[i,j]="↑" then LCS(b,X,i-1,j)                         else LCS(b,X,i,j-1);  end;   

在算法LCS中，每一次的遞歸調(diào)用使i或j減1，因此算法的計算時間為O(m+n)。

例如，設(shè)所給的兩個序列為X=<A，B，C，B，D，A，B>和Y=<B，D，C，A，B，A>。由算法LCS_LENGTH和LCS計算出的結(jié)果如下圖所示：

    我來說明下此圖（參考算法導(dǎo)論）。在序列X={A，B，C，B，D，A，B}和 Y={B，D，C，A，B，A}上，由LCS_LENGTH計算出的表c和b。第i行和第j列中的方塊包含了c[i，j]的值以及指向b[i，j]的箭頭。在c[7,6]的項4，表的右下角為X和Y的一個LCS<B，C，B，A>的長度。對于i，j>0，項c[i，j]僅依賴于是否有xi=yi，及項c[i-1，j]和c[i，j-1]的值，這幾個項都在c[i，j]之前計算。為了重構(gòu)一個LCS的元素，從右下角開始跟蹤b[i，j]的箭頭即可，這條路徑標示為陰影，這條路徑上的每一個“↖”對應(yīng)于一個使xi=yi為一個LCS的成員的項（高亮標示）。

    所以根據(jù)上述圖所示的結(jié)果，程序?qū)⒆罱K輸出：“B C B A”。

3、5.算法的改進

    對于一個具體問題，按照一般的算法設(shè)計策略設(shè)計出的算法，往往在算法的時間和空間需求上還可以改進。這種改進，通常是利用具體問題的一些特殊性。

    例如，在算法LCS_LENGTH和LCS中，可進一步將數(shù)組b省去。事實上，數(shù)組元素c[i,j]的值僅由c[i-1,j-1]，c[i-1,j]和c[i,j-1]三個值之一確定，而數(shù)組元素b[i,j]也只是用來指示c[i,j]究竟由哪個值確定。因此，在算法LCS中，我們可以不借助于數(shù)組b而借助于數(shù)組c本身臨時判斷c[i,j]的值是由c[i-1,j-1]，c[i-1,j]和c[i,j-1]中哪一個數(shù)值元素所確定，代價是Ο(1)時間。既然b對于算法LCS不是必要的，那么算法LCS_LENGTH便不必保存它。這一來，可節(jié)省θ(mn)的空間，而LCS_LENGTH和LCS所需要的時間分別仍然是Ο(mn)和Ο(m+n)。不過，由于數(shù)組c仍需要Ο(mn)的空間，因此這里所作的改進，只是在空間復(fù)雜性的常數(shù)因子上的改進。

    另外，如果只需要計算最長公共子序列的長度，則算法的空間需求還可大大減少。事實上，在計算c[i,j]時，只用到數(shù)組c的第i行和第i-1行。因此，只要用2行的數(shù)組空間就可以計算出最長公共子序列的長度。更進一步的分析還可將空間需求減至min(m, n)。

第四節(jié)、編碼實現(xiàn)LCS問題

    動態(tài)規(guī)劃的一個計算最長公共子序列的方法如下，以兩個序列 X、Y 為例子：

設(shè)有二維數(shù)組 f[i][j] 表示 X 的 i 位和 Y 的 j 位之前的最長公共子序列的長度，則有：

f[1][1] = same(1,1)f[i][j] = max{f[i ? 1][j ? 1] +same(i,j), f[i ? 1][j] ,f[i][j ? 1]}

其中，same(a,b)當(dāng) X 的第 a 位與 Y 的第 b 位完全相同時為“1”，否則為“0”。

此時，f[i][j]中最大的數(shù)便是 X 和 Y 的最長公共子序列的長度，依據(jù)該數(shù)組回溯，便可找出最長公共子序列。

該算法的空間、時間復(fù)雜度均為O(n²)，經(jīng)過優(yōu)化后，空間復(fù)雜度可為O(n)，時間復(fù)雜度為O(nlogn)。

以下是此算法的java代碼：

[cpp] view plain copy print?   import java.util.Random;     public class LCS{      public static void main(String[] args){             //設(shè)置字符串長度          int substringLength1 = 20;          int substringLength2 = 20;  //具體大小可自行設(shè)置             // 隨機生成字符串          String x = GetRandomStrings(substringLength1);          String y = GetRandomStrings(substringLength2);             Long startTime = System.nanoTime();          // 構(gòu)造二維數(shù)組記錄子問題x[i]和y[i]的LCS的長度          int[][] opt = new int[substringLength1 + 1][substringLength2 + 1];             // 動態(tài)規(guī)劃計算所有子問題          for (int i = substringLength1 - 1; i >= 0; i--){              for (int j = substringLength2 - 1; j >= 0; j--){                  if (x.charAt(i) == y.charAt(j))                      opt[i][j] = opt[i + 1][j + 1] + 1;                                 //參考上文我給的公式。                  else                      opt[i][j] = Math.max(opt[i + 1][j], opt[i][j + 1]);        //參考上文我給的公式。              }          }             -------------------------------------------------------------------------------------             理解上段，參考上文我給的公式：             根據(jù)上述結(jié)論，可得到以下公式，             如果我們記字符串Xi和Yj的LCS的長度為c[i,j]，我們可以遞歸地求c[i,j]：                       /      0                               if i<0 or j<0          c[i,j]=          c[i-1,j-1]+1                    if i,j>=0 and xi=xj                   /       max(c[i,j-1],c[i-1,j]           if i,j>=0 and xi≠xj             -------------------------------------------------------------------------------------             System.out.println("substring1:"+x);          System.out.println("substring2:"+y);          System.out.print("LCS:");             int i = 0, j = 0;          while (i < substringLength1 && j < substringLength2){              if (x.charAt(i) == y.charAt(j)){                  System.out.print(x.charAt(i));                  i++;                  j++;              } else if (opt[i + 1][j] >= opt[i][j + 1])                  i++;              else                  j++;          }          Long endTime = System.nanoTime();          System.out.println(" Totle time is " + (endTime - startTime) + " ns");      }         //取得定長隨機字符串      public static String GetRandomStrings(int length){          StringBuffer buffer = new StringBuffer("abcdefghijklmnopqrstuvwxyz");          StringBuffer sb = new StringBuffer();          Random r = new Random();          int range = buffer.length();          for (int i = 0; i < length; i++){              sb.append(buffer.charAt(r.nextInt(range)));          }          return sb.toString();      }  }  

第五節(jié)、改進的算法

    下面咱們來了解一種不同于動態(tài)規(guī)劃法的一種新的求解最長公共子序列問題的方法,該算法主要是把求解公共字符串問題轉(zhuǎn)化為求解矩陣L(p,m)的問題，在利用定理求解矩陣的元素過程中（1）while(i<k),L(k,i)=null，                  （2）while(L(k,i)=k),L(k,i+1)=L(k,i+2)=…L(k,m)=k；

    求出每列元素，一直到發(fā)現(xiàn)第p+1 行都為null 時退出循環(huán)，得出矩陣L(k,m)后，B[L(1,m-p+1)]B[L(2,m-p+2)]…B[L(p,m)]即為A 和B 的LCS，其中p 為LCS 的長度。

6.1 主要定義及定理

定義 1 子序列(Subsequence)：給定字符串A=A[1]A[2]…A[m]，(A[i]是A 的第i 個字母，A[i]∈字符集Σ，l<= i<m = A ， A 表示字符串A 的長度)，字符串B 是A 的子序列是指B=A[ 1 i ]A[ 2 i ]…A[ k i ],其中1 i < 2 i <…< k i 且k<=m.定義2 公共子序列(Common Subsequence)：給定字符串A、B、C，C 稱為A 和B 的公共子序列是指C 既是A 的子序列，又是B 的子序列。定義3 最長公共子序列(Longest Common Subsequence 簡稱LCS)：給定字符串A、B、C，C 稱為A 和B 的最長公共子序列是指C 是A 和B 的公共子序列，且對于A 和B 的任意公共子序列D，都有D <= C 。給定字符串A 和B，A =m，B =n，不妨設(shè)m<=n，LCS 問題就是要求出A 和B 的LCS。定義4 給定字符串A=A[1]A[2]…A[m]和字符串B=B[1]B[2]…[n]，A( 1:i)表示A 的連續(xù)子序列A[1]A[2]…A[i]，同樣B(1:j)表示B 的連續(xù)子序列B[1]B[2]…[j]。Li(k)表示所有與字符串A(1:i) 有長度為k 的LCS 的字符串B(l:j) 中j 的最小值。用公式表示就是Li(k)=Minj(LCS(A(1:i)，B(l:j))=k) [3]。

定理1 ? i∈[1，m]，有Li(l)<Li(2)<Li(3)<…<Li(m) .定理2 ?i∈[l，m-1]，?k∈[l，m]，有i 1 L + (k)<= i L (k).定理3 ? i∈[l，m-1]， ? k∈[l，m-l]，有i L (k)< i 1 L + (k+l).以上三個定理都不考慮Li(k)無定義的情況。定理4[3] i 1 L + (k)如果存在，那么它的取值必為: i 1 L + (k)=Min(j, i L (k))。這里j 是滿足以下條件的最小整數(shù):A[i+l]=B[j]且j> i L (k-1)。

    矩陣中元素L(k，i)=Li(k)，這里(1<i<=m，1<k<=m)，null 表示L(k,i)不存在。當(dāng)i<k 時，顯然L(k，i)不存在。    設(shè)p=Maxk(L(k ， m) ≠ null) ， 可以證明L 矩陣中L(p,m) 所在的對角線,L(1,m-p+1),L(2,m-p+2)…L(p-1,m-1),L(p,m) 所對應(yīng)的子序列B[L(1,m-p+1)]B[L(2,m-p+2)]…B[L(p,m)]即為A 和B 的LCS，p 為該LCS 的長度。這樣，LCS 問題的求解就轉(zhuǎn)化為對m m L × 矩陣的求解。

6.2 算法思想    根據(jù)定理,第一步求出第一行元素,L(1,1),L(1,2),…L(1,m),第二步求第二行,一直到發(fā)現(xiàn)第p+1 行都為null 為止。在計算過程中遇到i<k 時,L(k,i)=null, 及L(k,i)=k時,L(k,i+1)=L(k,i+2)=…L(k,m)=k。這樣,計算每行的時間復(fù)雜度為O(n),則整個時間復(fù)雜度為O(pn)。在求L 矩陣的過程中不用存儲整個矩陣,只需存儲當(dāng)前行和上一行即可。空間復(fù)雜度為O(m+n)。

    下面給出一個例子來說明:給定字符串A 和B，A=acdabbc，B=cddbacaba，(m= A =7，n= B =9)。按照定理給出的遞推公式，求出A 和B 的L 矩陣如圖2，其中的$表示NULL。

    則A 和B 的LCS 為B[1]B[2]B[4]B[6]=cdbc,LCS 的長度為4。

6.3 算法偽代碼算法 L(A,B,L)輸入 長度分別為m,n 的字符串A,B輸出 A,B 的最長公共子序列LCS

[cpp] view plain copy print?L(A,B,L){//字符串A，B，所求矩陣L    for(k=1;k<=m;k++){ //m 為A 的長度      for(i=1;i<=m;i++){        if(i<k) L[k][i]=N;//i<k 時,L(k,i)=null，N 代表無窮大        if(L[k][i]==k)//L(k,i)=k 時,L(k,i+1)=L(k,i+2)=…L(k,m)=k        for(l=i+1;l<=m;l++)         { L[k][l]=k;           Break;}        for(j=1;j<=n;j++){//定理4 的實現(xiàn)         if(A[i+1]==B[j]&&j>L[k-1][i]){          L[k][i+1]=(j<L[k][i]?j:L[k][i]);          break;        }        if(L[k][i+1]==0)          L[k][i]=N;       }       if(L[k][m]==N)        {p=k-1;break;}    }    p=k-1;  }  

6.4 結(jié)語    本節(jié)主要描述區(qū)別于動態(tài)規(guī)劃法的一種新的求解最長公共子序列問題的方法，在不影響精確度的前提下，提高序列匹配的速度，根據(jù)定理i 1 L + (k)=Min(j, i L (k))得出矩陣，在求解矩陣的過程中對最耗時的L(p,m)進行條件約束優(yōu)化。我們在Intel(R) Core(TM)2 Quad 雙核處理器、1G 內(nèi)存，軟件環(huán)境：Windows xp 下試驗結(jié)果證明，本文算法與其他經(jīng)典的比對算法相比,不但能夠取得準確的結(jié)果,而且速度有了較大的提高（本節(jié)參考了劉佳梅女士的論文）。

    若有任何問題，懇請不吝指正。謝謝各位。完。

轉(zhuǎn)自：http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/6695482

感謝作者，終于把lcs搞懂了