在做編程題目的時候經常會遇到“斐波那契數列”相關的題目,尤其在做OJ中。下面說一些方法:
(一)遞歸
遞歸是最慢的會發生重復計算,時間復雜度成指數級。
利用臨時變量來保存中間的計算過程,加快運算。
(三)矩陣乘法+空間換時間(減少乘法,取模運算)
數列的遞推公式為:f(1)=1,f(2)=2,f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n>=3)
用矩陣表示為:
進一步,可以得出直接推導公式:
由于矩陣乘法滿足結合律,在程序中可以事先給定矩陣的64,32,16,8,4,2,1次方,加快程序的執行時間。(有些題目需要取模運算,也可以事先進行一下)。給定的矩陣次冪,與二進制有關是因為,如下的公式存在解,滿足Xi={0或1}:
為了保證解滿足 Xi={0或1},對上述公式的求解從右向左,即求解順序為Xn,Xn-1,Xn-2,....,X1,X0。
完整代碼實現如下:
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
fac(n);
return 1;
}
void fac(int k) ///k>=3
{
int i;
long long t00=1,t01=1,t10=1,t11=0; ///表示矩陣的1次冪
long long a,b,c,d;
k=k-3; ///公式中是n-2次冪,(t00,t01,t10,t11)表示1次冪。所以一共減3次
for(i=k;i>=32;i=i-32) ///對于大于等于32的k;
{
a=(t00*fac_tmp[0][0]+t01*fac_tmp[0][2])%100000;
b=(t00*fac_tmp[0][1]+t01*fac_tmp[0][3])%100000;
c=(t10*fac_tmp[0][0]+t11*fac_tmp[0][2])%100000;
d=(t10*fac_tmp[0][1]+t11*fac_tmp[0][3])%100000;
t00=a; t01=b; t10=c;t11=d;
}
i=4;
while(i>=0) ///對于小于32的k(16,8,4,2,1);
{
if(k>=(long long)pow(2,i)) ///如果k大于某一個2的次冪
{
a=(t00*fac_tmp[5-i][0]+t01*fac_tmp[5-i][2])%100000; ///(5-i):矩陣的2的i次冪在數組fac_tmp中的位置為fac_tmp[5-i]
b=(t00*fac_tmp[5-i][1]+t01*fac_tmp[5-i][3])%100000;
c=(t10*fac_tmp[5-i][0]+t11*fac_tmp[5-i][2])%100000;
d=(t10*fac_tmp[5-i][1]+t11*fac_tmp[5-i][3])%100000;
t00=a; t01=b; t10=c;t11=d;
k=k-(int)pow(2,i);
}
i--;
}
a=(t00*2+t01*1)%100000;
printf("%lld/n",a);
}
新聞熱點
疑難解答
圖片精選