題目：

給定兩個自然數，求這兩個數的最大公約數。

分析：

單看題目的話，非常簡單，我們可以循環遍歷自然數，如果能夠整除兩個自然數，就把這個數記下來，在這些記錄中找到最大的一個。
但是這樣做有幾個缺點：一是做除法計算量比較大，二是遍歷所有自然數完全沒有必要。另外，如果能夠循環，還是不要遞歸，因為Python的函數遞歸最大棧空間是1000（如果我沒有記錯的話），如果數字大一些，很容易出現爆棧。

所以在這里有兩種處理方法：

1、如果較大的自然數除較小的一個自然數，取得余數，較小的自然數和余數的最大公約數就是我們要求的值。
2、如果較大的自然數減去較小的自然數，取得差值，較小的自然數和差值的最大公約數就是我們要求的值。

基于以上兩條，我們就可以在根據定義得到的算法的基礎上進行改進，但是！減法操作當然比取余要方便很多。而且在計算機里，做位運算的速度要比加減乘除都快，所以，我寫了四個算法，具體描述在代碼的 __doc__里有注釋闡述

代碼：

def greatest_common_divisor_1(self, num1, num2):    '''    數值計算尋找最大公約數，給定兩個整數，計算其最大公約數，時間復雜度為 o(min(num1,num2))，取余運算復雜度高    '''    gbc = 1    for i in xrange(2, min(num1, num2)+1):      if num2 % i == 0 and num1 % i == 0:        gbc = i    return gbc  def greatest_common_divisor_2(self, num1, num2):    '''    輾轉相減法，時間復雜度最差為 o(min(num1,num2))，一般情況下都比這個要好。相減運算要比除法方便很多    '''    while num1 != num2:      if num1 > num2:        num1 = num1 - num2      else:        num2 = num2 - num1    return num1  def greatest_common_divisor_3(self, num1, num2):    '''    求余數法，取模運算比較麻煩，時間復雜度低 o(log max(num1, num2))    '''    while num1 != num2:      if num1 > num2:        if num1 % num2 == 0:          return num2        num1 = num1 % num2      else:        if num2 % num1 == 0:          return num1        num2 = num2 % num1    return num1  def greatest_common_divisor(self, num1, num2):    '''    求兩個數的最大公約數    綜合取余法和輾轉相減法，既能得到較好的時間復雜度，又能避免取余運算，時間復雜度穩定 o(log max(num1,num2))    如果取兩個非常大的數的話，前面的方法很容易爆棧、取余困難等等，但是該方法沒有問題    a = 999999342353200    b = 777774234    print greatest_common_divisor(a, b)    '''    factor = 1    if num1 < num2:      return greatest_common_divisor_1(num2, num1)    while num1 != num2:      if num1 & 1 is False and num2 & 1 is False: # 均為偶數        num1 = num1 >> 1        num2 = num2 >> 2        factor *= 2      elif num1 & 1 is False and num2 & 1 is True:        num1 = num1 >> 1      elif num1 & 1 is True and num2 & 1 is False:        num2 = num2 >> 1      else:        if num1 > num2:          num1 = num1 - num2        else:          num2 = num2 - num1    return factor*num1