一、相關(guān)分析相關(guān)理論

1、什么是相關(guān)關(guān)系

相關(guān)分析（correlation analysis），從數(shù)量上分析現(xiàn)象之間相關(guān)關(guān)系的理論和方法。

現(xiàn)象之間的關(guān)系可以分為確定關(guān)系和非確定性關(guān)系。

確定性關(guān)系，可以說是函數(shù)關(guān)系，也就是說對(duì)于某一變量的每個(gè)數(shù)值都有另一變量的完全確定的值與之對(duì)應(yīng)。

非確定性關(guān)系，即這里所說的相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)象之間存在一定的依存關(guān)系，但不是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即相隨變動(dòng)關(guān)系。

我們這里探討的就是相關(guān)分析。

2、相關(guān)關(guān)系的分類

這篇文章主要研究線性相關(guān)關(guān)系

3、相關(guān)分析的基本步驟

（1）繪制散點(diǎn)圖，初步判斷兩個(gè)變量之間是否存在某種（線性）有規(guī)律的變化；

（2）正態(tài)性檢測(cè)，如要選擇Pearson相關(guān)系數(shù)，則要判斷兩個(gè)變量是否服從正態(tài)分布或近似正態(tài)；

（3）計(jì)算相關(guān)系數(shù)，選擇相關(guān)的方法公式來計(jì)算兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)r；

（4）顯著性檢驗(yàn)，判斷這種相關(guān)性是否顯著；

（5）給出結(jié)論。

4、散點(diǎn)圖

散點(diǎn)圖可以在坐標(biāo)系中表示因變量隨自變量而變化的大致趨勢(shì)，據(jù)此可以選擇合適的函數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行擬合。在R中繪制散點(diǎn)圖的方法可以參加本站中的另外一篇文章：《使用R語言繪制散點(diǎn)圖》

下圖的散點(diǎn)圖表示了兩個(gè)變量之間可能的情況：

5、相關(guān)系數(shù)

相關(guān)系數(shù)（CorrelationCoefficient），是專門用來衡量?jī)蓚€(gè)變量之間的線性相關(guān)程度的指標(biāo)，經(jīng)常用字母r來表示相關(guān)系數(shù)。

（1）Pearson相關(guān)系數(shù)

最常用的相關(guān)系數(shù)，是皮爾遜（Pearson）相關(guān)系數(shù)，又稱積差相關(guān)系數(shù)，其公式如下：

（2）Spearman相關(guān)系數(shù)

用于兩個(gè)定序或定類變量的相關(guān)程序，對(duì)數(shù)據(jù)分布形態(tài)不作要求，也可以用于定序數(shù)據(jù)，但不如Pearson精確。

秩相關(guān)系數(shù)的計(jì)算步驟如下：

1）把數(shù)量標(biāo)志和品質(zhì)標(biāo)志的具體表現(xiàn)按等級(jí)次序編號(hào)；

2）按順序求出兩個(gè)標(biāo)志的每對(duì)等級(jí)編號(hào)的差；

3）按下式計(jì)算相關(guān)系數(shù)：

其中：秩相關(guān)系數(shù)記為r_s，為兩變量每一對(duì)樣本的等級(jí)之差，即變量x_i與y_i的差值，n為樣本容量。

秩相關(guān)系數(shù)與相關(guān)系數(shù)一樣，取值-1到+1之間，r_s為正時(shí)表示正相關(guān)，r_s為負(fù)時(shí)表示負(fù)相關(guān)，r_s等于零時(shí)表示相關(guān)為零。但與相關(guān)系數(shù)不同的是，它是建立在等級(jí)的基礎(chǔ)上計(jì)算的，較適用于反映序列變量的相關(guān)。

（3）Kendall相關(guān)系數(shù)

用于反映分類變量一致性的指標(biāo)，兩個(gè)變量均屬于有序分類時(shí)使用，Kendall相關(guān)系數(shù)將在本站另行探討。

相關(guān)系數(shù)r主要特征有：

（1）取值范圍在[-1,1]之間。

（2）|r|越趨于1，表示線性相關(guān)越強(qiáng)；|r|越趨于0，表示線性相關(guān)越弱。

（3）若|r|=1，為完全線性相關(guān)（相當(dāng)于兩變量是確定的函數(shù)關(guān)系）

（4）若r >0，表示兩個(gè)變量存在正相關(guān)，若r<0，表示兩個(gè)變量存在負(fù)相關(guān)，若r = 0，表示兩個(gè)變量不存在線性相關(guān)關(guān)系。

在實(shí)際中，將r分成幾個(gè)區(qū)間段來表示兩個(gè)變量之間的相關(guān)強(qiáng)度： 

（1）|r|<0.3 相關(guān)極弱，為不存在線性相關(guān)關(guān)系；

（2）0.3 ≤ |r| < 0.5 為低度（弱）線性相關(guān)；

（3）0.5 ≤ |r| <0.8為中度(顯著)線性相關(guān)；

（4）|r| ≥0.8為高度線性相關(guān)。 

二、相關(guān)分析與回歸分析的聯(lián)系與區(qū)別

相關(guān)分析與回歸分析在實(shí)際應(yīng)用中有密切關(guān)系。然而在回歸分析中，所關(guān)心的是一個(gè)隨機(jī)變量Y對(duì)還有一個(gè)（或一組）隨機(jī)變量X的依賴關(guān)系的函數(shù)形式。而在相關(guān)分析中 ，所討論的變量的地位一樣，分析側(cè)重于隨機(jī)變量之間的種種相關(guān)特征。比如，以X、Y分別記小學(xué)生的數(shù)學(xué)與語文成績(jī)，感興趣的是二者的關(guān)系怎樣，而不在于由X去預(yù)測(cè)Y。

三、R中進(jìn)行相關(guān)分析的方法

在R中可以使用cor函數(shù)計(jì)算兩組變量之間的相關(guān)系數(shù)。cor()函數(shù)的形式如下：

cor(x, y = NULL, use = "everything", method = c("pearson", "kendall", "spearman"))

其中，x為數(shù)值向量、矩陣或數(shù)據(jù)框；y默認(rèn)為NULL值，其為與x具有相同的維度；use是對(duì)缺失值的處理方式；method給出計(jì)算相關(guān)系數(shù)所使用的方法，即上面所探討的pearson相關(guān)系數(shù)、spearman相關(guān)系數(shù)和kendall相關(guān)系數(shù)。

下面舉例子來說明該函數(shù)的具體使用方法：

例1：假設(shè)對(duì)10戶居民家庭的月可支配收入和消費(fèi)支出進(jìn)行調(diào)查，得到的原始資料如下：

那么，居民的消費(fèi)支出與可支配收入之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系，計(jì)算出相關(guān)系數(shù)并分析。

在R語言中編寫相關(guān)程序見下面：

x <- c(25,18,60,45,62,88,92,99,75,98) #定義向量x保存可支配收入
y <- c(20,15,40,30,42,60,65,70,53,78) #定義向量y保存消費(fèi)支出

#繪制散點(diǎn)圖，看看是否有線性關(guān)系
plot(x, y, xlab="可支配收入", ylab="消費(fèi)支出", main="消費(fèi)支出與可支配收入的散點(diǎn)圖")
#這樣從散點(diǎn)圖可以看出大致是否成線性關(guān)系，是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)
#還可以在散點(diǎn)圖中添加趨勢(shì)線，觀察大體趨勢(shì)
abline(lm(y~x)) #添加趨勢(shì)線，lm()是繪制y與x之間的線性方程

#正態(tài)性檢驗(yàn)
#計(jì)算的W值越接近1，表明越接近正態(tài)性
shapiro.test(x) #檢驗(yàn)x是否符合正態(tài)分布要求
shapiro.test(y) #檢驗(yàn)y是否符合正態(tài)分布要求

cor(x,y) #計(jì)算相關(guān)系數(shù)，默認(rèn)采用pearson相關(guān)系數(shù)

#可以使用method參數(shù)指定計(jì)算的系數(shù)類型
cor(x,y,method='pearson') #pearson法計(jì)算的相關(guān)系數(shù)

#相關(guān)性的顯著性檢驗(yàn)：原假設(shè)為變量間不相關(guān)
#使用cor.test()函數(shù)
cor.test(x,y) #默認(rèn)使用pearson方法進(jìn)行檢驗(yàn)
cor.test(x,y,method="pearson") #可以指定使用pearson方法進(jìn)行檢驗(yàn) 

繪制的散點(diǎn)圖如下：

添加趨勢(shì)線后的散點(diǎn)圖：

正態(tài)性檢驗(yàn)的結(jié)果：

正態(tài)性原假設(shè)為總體服從正態(tài)分布，從檢驗(yàn)結(jié)果來看，兩變量的p-value均大于0.05，則在0.05的顯著性水平下，不能拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為兩個(gè)變量服從正態(tài)分布。

相關(guān)系數(shù)計(jì)算結(jié)果如下：

0.9877601

可以看出兩個(gè)變量具有高度相關(guān)性，且相關(guān)系數(shù)大于0，則居民支出與銷售收入具有高度的正相關(guān)性。

顯著性檢驗(yàn)結(jié)果：

從檢驗(yàn)結(jié)果來看，p值<0.05，則在0.05的顯著性水平下，相關(guān)系數(shù)較顯著。

例2：檢驗(yàn)智商和其每周花在 電視上的小時(shí)數(shù)的相關(guān)性，其數(shù)據(jù)如下：

編寫r程序如下：

 #定義數(shù)據(jù)
x <- c(106,86,100,101,99,103,97,113,112,110)
y <- c(7,0,27,50,28,29,20,12,6,17)
#計(jì)算相關(guān)系數(shù)
cor(x,y,method="spearman")

#顯著性檢驗(yàn)
cor.test(x,y,method="spearman")

 相關(guān)系數(shù)計(jì)算結(jié)果如下：

-0.1757576

檢驗(yàn)結(jié)果如下圖：

從檢驗(yàn)結(jié)果來看，p值>0.05，則在0.05的顯著性水平下，不能拒絕原假設(shè)，則相關(guān)系數(shù)不夠顯著。

上面的例子有些來源于網(wǎng)絡(luò)。