雙因素方差分析就是考慮兩個因素的方差分析，兩個因素可以稱之為因素A和因素B，設因素A有r個水平A1，A2，...，Ar，因素B有s個水平B1，B2，...，Bs.

雙因素方差分析有兩種類型：

一種是無交互作用的雙因素方差分析，它假定因素A和因素B的效應之間是相互獨立的，不存在相互關系；

另一種是有交互作用的方差分析，它假定A、B兩個因素不是獨立的，而是相互起作用的，兩個因素同時起作用的結果不是兩個因素分別作用的簡單相加，兩者的結合會產(chǎn)生一個新的效應。

這種效應的最典型的例子是，耕地深度和施肥量都會影響產(chǎn)量，但同時深耕和適當?shù)氖┓士赡苁巩a(chǎn)量成倍增加，這時，耕地深度和施肥量就存在交互作用。兩個因素結合后就會產(chǎn)生出一個新的效應，屬于有交互作用的方差分析問題。

本文首先探討一下無交互作用的雙因素方差分析相關問題。

無交互作用的雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結構表如下：

分析的步驟

（1）提出假設

對因素A提出的假設為：
H0: μ1 = μ2 = … = μi = …= μr  (μi為第i個水平的均值)
H1: μi (i =1,2, … , r) 不全相等
對因素B提出的假設為：
H0: μ1 = μ2 = … = μj = …= μs (μj為第j個水平的均值)
H1: μj (j =1,2,…,s) 不全相等

（2）構造檢驗統(tǒng)計量

總離差平方和：

因素A的離差平方和SSA：

因素B的離差平方和SSB：

誤差項平方和SSE：

各平方和的關系：

SST = SSA + SSB + SSE

（3）計算均方MS

因素A的均方：

因素B的均方：

隨機誤差項的均方：

（4）計算檢驗統(tǒng)計量F

（5）統(tǒng)計決策

將統(tǒng)計量的值F與給定的顯著性水平α的臨界值Fα進行比較，作出接受或拒絕原假設H0的決策：

根據(jù)給定的顯著性水平α在F分布表中查找相應的臨界值 Fα

若FA≥ Fα，則拒絕原假設H0，表明均值之間的差異是顯著的，即所檢驗的因素(A)對觀察值有顯著影響

若FB≥Fα，則拒絕原假設H0，表明均值之間有顯著差異，即所檢驗的因素(B)對觀察值有顯著影響

無交互作用的方法分析表如下：

R語言中進行無交互作用的雙因素方差分析的方法

在R語言中，無交互作用的雙因素方差分析方法與單因素方差分析所使用的函數(shù)相同，即aov函數(shù)和summary函數(shù)。

下面舉例子來說明：

例1：某產(chǎn)品銷售量是否與銷售方式和銷售地點有關

某公司想知道產(chǎn)品銷售量與銷售方式及銷售地點是否有關，隨機抽樣得表中資料，以0.05的顯著性水平進行檢驗。

 在R中編寫程序如下所示：

#無重復作用的雙因素方差分析
#定義銷售量向量
X<-c(77,86,81,88,83,95,92,78,96,89,71,76,68,81,74,80,84,79,70,82)
A<-gl(4,5) #銷售方式四種
B<-gl(5,1,20) #銷售地點五個

sales<-data.frame(X,A,B) #創(chuàng)建數(shù)據(jù)框

sales.aov<-aov(X~A+B,data =sales)
summary(sales.aov)

運行結果如下圖所示：

從分析結果來看，銷售方式的P值=0.00325<0.05，則認為因素A不同銷售方式對銷售量有顯著影響，而銷售地點的P值=0.28814>0.5，沒有充分理由說明銷售地點對銷售量有影響。

例2：食品包裝和銷售地區(qū)對某商品銷售量是否有影響

為研究食品的包裝和銷售地區(qū)對其銷售量是否有影響，在某周的三個不同地區(qū)中用三種不同包裝方法進行銷售，獲得的銷售量數(shù)據(jù)如下表。

檢驗不同的地區(qū)和不同的包裝方法對該食品的銷售量是否有顯著影響？ (α=0.05)

 在R中編寫程序如下：

X<-c(45,75,30,40,50,50,40,48,35,65,50,53)
A<-c(1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3)
#或者A<-gl(4,4)

B<-rep(c(1:4),3)
#或者B<-gl(4,1,12)

dat<-data.frame(X,A,B)

re<-aov(X~A+B,data=dat)

summary(re)

分析結果如下：

從分析結果來看，因素A和因素B的P值均大于0.05，則可以認為因素A和因素B對食品銷售量沒有影響。